Расстояние от точки до плоскости



Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

В этом же пункте целесообразно рассмотреть расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью - расстояние от произвольной точки прямой до плоскости, а так же расстояние между параллельными плоскостями - расстояние от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости.

Обучающая презентация* - скачать...

Что используется:

  • При решении задачи классическим методом строится перпендикуляр из данной точки на плоскость и вычисляется его длина. При этом следует помнить, что иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке. В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.

  • Метод объёмов: если объём пирамиды МАВС равен V, то расстояние от М до плоскости, содержащей треугольник АВС можно найти по формуле 
  • Координатный метод: расстояние от точки М (х0; y0; z0) до плоскости, заданной уравнением ах+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле  

Задачи для самостоятельного решения**


1.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от вершины А до плоскости ВDА1.

2.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от вершины А1 до плоскости ВDС1.

3.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от вершины D1 до плоскости CAB1.

4.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от точки С1 до плоскости АВ1С.

5.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВ1С.

6.  В единичном кубе АС1 найдите расстояние от точки D до плоскости АВ1С.

7.   В единичном кубе АС1 найдите расстояние от точки А до плоскости А1MN, если M-середина АВ, N – середина АD.

8.  Ребро куба  АС1 равно √3. Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC1.

9.  В кубе  АС1, ребро которого равно 4, точки Е и F - середины рёбер АВ и В1С1 соответственно, а точка Р расположена на ребре CD так, что СР=3РD. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости треугольника EPF.

10.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от вершины А до плоскости ВСА1.

11.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка М - середина ребра АА1, точка К - середина ребра ВВ1. Найдите расстояние от вершины А1 до плоскости СМК, если АА1=6, АВ=4.

12.   В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра - 3. Точка D - середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости АВ1D.
13.  В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 1, боковые рёбра - 2. Точка М - середина АА1. Найдите расстояние от точки М до плоскости DА1С1.

14.  В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 1, боковые рёбра - 2. Точка Е - середина АА1. Найдите расстояние от вершины D до плоскости ВЕD1.

15. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1 рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости BFE1.

16. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1 рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости А1В1С.

17.  В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1 рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости DEF1.

18.  Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника АВС, если известно, что SА=2, АВ=АС=4 и SВ=SС=ВС=2√3.

19.  В правильной треугольной пирамиде SАВС точка S - вершина. Точка М - середина ребра SА, точка К - середина ребра SВ. Найти рассточние от вершины А до плоскости СМК, если SС=6, АВ=4.

20.  Дан правильный тетраэдр АВСS с ребром  √6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВСS.

21.  Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при вершине - прямые. Найдите длину её высоты, если длины её боковых рёбер равны a, b,c.

22.  Ребро АS пирамиды АВСS перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины рёбер АВ, АС и АS, если АS=2√5, АВ=АС=10, ВС=4√5.

23.  В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСD (с вершиной Р) сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани РСD.

24.  В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСD (сторона основания АВСD равна 1) боковое ребро равно 2. Найдите расстояние от вершины А до РВD и от А до РСD.

25.   В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСD (с вершиной Р) сторона основания равна 2, высота 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости ВСР.

26. На продолжении ребра SК за точку К правильной четырёхугольной пирамиды SКLMN с вершиной S взята точка А так, что расстояние от точки А до плоскости MNS равно 24. Найдите длину отрезка КА, если SL=2√41, MN=16.

27. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF c основанием   ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро - 8. Точка К - середина ребра SВ. Найдите расстояние от точки А до плоскости KDF. 

28.  В правильной шестиугольной пирамиде МАВСDEF, стороны основания которой равны 1, а боковое ребро – 4, найдите расстояние от точки К – середины ВС до плоскости ЕМD.


* Презентация предоставлена  http://geometry2006.narod.ru/

** Задачи частично продоставлены http://alexlarin.net/