Угол между плоскостями



Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, образованного перпендикулярами, проведёнными из одной точки к ребру двугранного угла в каждой из данных полуплоскостей.


  • Величина двугранного угла принадлежит промежутку  (00, 1800).
  • Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (00, 900].
  • Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 00.


Методы решения:

  • Классический метод: заключается в построении линейного угла двугранного угла и вычисление его градусной меры. При этом возможно использование различных формул и теорем из курса планиметрии (теоремы синусов, косинусов, площадь треугольника, свойства прямоугольногго треугольника и др.). Заметим, что при нахождении линейного угла двугранного угла возможно использование следующих весьма полезных фактов:
    • Линейный угол можно рассматривать как угол между пересекающимися прямыми а и b, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения (см. чертёж выше);
    • Линейный угол можно найти как угол между прямыми, параллельными прямым а и b или между b и прямой, параллельной а;
    • Двугранный угол можно заменить углом между плоскостями, параллельными данным плоскостям α и ß или между α и плоскостью, параллельной ß
    • Линейный угол можно найти как угол между перпендикулярами к данным плоскостям.


  • Векторно-координатный метод: 
    применение данного метода позволяет свести решение исходной задачи к задаче о нахождении угла 
    • между векторами нормалей данных плоскостей;
    • между направляющими векторами прямых а и b, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных линии их пересечения.


            Рассмотрим две плоскости, заданные своими уравнениями  α: p1x+q1y+r1z+d1=0 и ß: p2x+q2y+r2z+d2=0.

            Тогда      и  - координаты их нормальных векторов.

            Значит косинус угла между данными плоскостями можно найти по формуле:




Обучающая презентация* - скачать... 


Задачи для самостоятельного решения**

1. В кубе АС1 найти угол между плоскостями сечений АВ1С1D и СВ1А1D.


2. В кубе АС1 с ребром, равным а, через точки М на ребре ВВ1 и N на DD1 такие, что ВМ=3/4а, DN=1/4а, параллельно АС проведена секущая плоскость . Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью АВС.


3.  В кубе АС1 найти угол между плоскостью грани АА1В1В и плоскостью ВС1D.


4. В кубе АС1 найти угол между плоскостями АВ1С и ВС1D.


5. В кубе АС1 найти угол между плоскостями АВ1С1и А1ВС1.  

 

6.  В кубе АС1 найти угол между плоскостями АВ1С и АВС.


7. Диагональ А1С куба  АС1служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через В1 и D1. Найдите величину этого угла.


8. Диагональ А1С куба АС1служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через В  и D. Найдите величину этого угла.


9.  Диагональ А1С куба  АС1служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины рёбер АВ и DD1. Найдите величину этого угла.


10.  В кубе АС1 найти угол между плоскостями АВ1С и А1В1С.


11. В единичном кубе  АС1 найти угол между плоскостями АD1Е и D1FС, где точки Е и F - середины рёбер А1В1 и В1С1 соответственно.


12. Дан куб АС1. Найдите угол между плоскостями MNP и АКD, где точки М - центр грани АА1В1В, N - середина ребра В1С1, К - середина ребра СС1, Р - делит ребро DD1 в отношении DР:РD1=1:2.


13.  В кубе АС1 найти угол между плоскостями АВ1С1и А1В1С.  

  

14.  В кубе АС1 точки Е и F - середины рёбер А1В1 и А1D1 соответственно.  Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВСС1.

  

15.  В кубе АС1 точки Е и F - середины рёбер А1В1 и А1D1 соответственно.  Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВDD1.  

 

16. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,длины рёбер которого равны АВ=2,  АD=АА1=1. Найдите угол между плоскостями СD1В1 и С1.


17. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,длины рёбер которого равны АВ=4,  ВС=6, СС1=4. Найдите тангенс угла между плоскостями СDD1 и В1.


18. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,длины рёбер которого равны АВ=6, ВС=6, СС1=4. Найдите тангенс угла между плоскостями АСD1 и В1С1А1.


19. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,длины рёбер которого равны АВ=12,  АD=8, АА1=5. Найдите тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, если К - середина ребра С1D1.


20. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,длины рёбер которого равны АВ=8,  АD= 6, СС1=5. Найдите угол между плоскостями ВDD1 и АD1В1.


21. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 боковое ребро равно b, а сторона основания а. Найдите косинус угла между плоскостями АВС1 и А1В1С.


22. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1. Найти косинус угла между плоскостями АВ1С и А1В1С. 


23.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1. Найти угол между плоскостями АВ1С и А1С1В.


24. Сторона основания правильной треугольной призмы   АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой грани -  5. Найдите угол между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.

25.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1, точки D,E - середины рёбер А1В1 и  А1С1 соответственно. Найти тангенс угла между плоскостями АDE и BC1С.


26. Основанием прямой треугольной  призмы   АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=10, АС=16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р - середина ребра ВВ1 Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1и АСР.


27. Основанием прямой треугольной  призмы  АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=20, АС=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причём ВР:РВ1=1:3.  Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1и АСР.
 

28.  Основанием прямой треугольной  призмы АВСА1В1С1 является треугольник АВС, в котором АВ=АС=8, а один из углов равен 600.  На ребре АА1 отмечена точка Р так, что АР:РА1=2:1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СВР, если  расстояние между прямыми В1С1 и АВ равно 18√3.
 

29.  Основанием прямой треугольной  призмы   АВСА1В1С1 является треугольник АВС, в котором АС=ВС=6, а один из углов равен 600.   На ребре СС1 отмечена точка Р так, что СР:РС1=2:1.Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и АВР, если расстояние между прямыми В1А1 и АС равно 18√3.
 

30.  Основанием прямой  призмы   АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС.  Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и плоскостью, проходящей через середину ребра АА1, если АВ=4, ВВ1=12. 

31. Дана прямая четырёхугольная призма  АВСDA1B1C1D1, в основании которой лежит прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=
33. Через середину ребра СD проведена плоскость, перпендикулярная прямой В1D. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью грани АА1D1D, если расстояние между прямыми А1С1 и ВD равно 3.


32. Основание прямой четырёхугольной призмы  АВСDA1B1C1D1 - прямоугольник  АВСD, в котором АВ= 28, АD=6. Найдите тангенс угла между плоскости грани АА1В1В призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно АС1, если расстояние между прямыми А1С1 и ВD равно 8.


33. Основание прямой четырёхугольной призмы АВСDA1B1C1D1 - прямоугольник АВСD, в котором АВ=12, АD=31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы  и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно ВD1, если расстояние между прямыми АС и В1D1равно 5.


34. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 3, а боковое ребро - 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что ЕА1=3АЕ. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.


35. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 1, а боковое ребро - 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:1. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.


36. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 2, а боковое ребро - 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=1:2. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.


37. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 2, а боковое ребро - 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

38. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 3, а боковое ребро - 5. На ребре АА1 отмечена точка М так, что АМ=2. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=2. Найти угол между плоскостями СС1D1 и D1МК.

39. В правильной четырёхугольной призме  АВСDA1B1C1D1 сторона основания равна 4, а высота - 7. На ребре АА1 отмечена точка М так, что АМ=2. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=2. Найти угол между плоскостями СС1D1 и D1МК.

40. В основании прямой призмы  АВСDA1B1C1D1 лежит ромб АВСD со стороной  21 и углом А, равным 600. На рёбрах АВ, В1С1 и DС взяты соответственно точки Е, F, G так, что АЕ=ЕВ, В1F=FC1, DG=3GC. Найдите косинус угла между плоскостями ЕFG и АВС, если высота призмы равна 4,5.


41. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1,  стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти угол между плоскостями ВА1D1 и АА1Е1.


42. Все рёбра треугольной пирамиды DАВС равны между собой. Точки К и Е - середины рёбер АВ и ВС соответственно. Найдите угол между плоскостями АВD и КDЕ.


43. Основание пирамиды DАВС - равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=13, АС=24. Ребро DВ перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АС.


44. В правильной четырёхугольной пирамиде SАВСD, все рёбра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями АВС и ВСS.


45.В правильной четырёхугольной пирамиде SАВСD с основанием АВСD сторона основания равна 6√2, а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями АВС и АСМ, где точка М делит ребро ВS так, что ВМ:МS=2:1. 

46. В правильной четырёхугольной пирамиде SАВСD, все рёбра которой равны 1, найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.


47. В правильной пирамиде МАВСD (М - вершина) высота и сторона основания равны 4. Точка Е - середина ребра МС. Плоскость ß проходит через середину ребра АМ перпендикулярно прямой ВЕ. Найдите угол между а) плоскостью ß и плоскостью основания; б)
плоскостью ß и прямой МD. 

48. В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник с отношением сторон АВ:АD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 600. Точка К - середина ребра МС. Найти угол между плоскостями МАС и АDК.


49. В основании пирамиды SАВСD, все боковые рёбра которой равны 17, лежит прямоугольник
АВСD.  Точка М - середина ребра SA. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость.  Найти величину угда между этой плоскостью и плоскостью SAC, если известно, что АВ=24, ВС=10.


50. В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найтит косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре. 


51. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.


52. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
     

* Презентация предоставлена  http://geometry2006.narod.ru/

** Задачи частично продоставлены http://alexlarin.net/