6 класс*

 2012 год

1. Все цифры в записи шестизначного числа различны, и среди них нет нуля. Первая его цифра в 8 раз больше четвёртой, вторая - вдвое больше пятой, третья - втрое больше шестой. Найдите все такие числа и постарайтесь объяснить, почему таких чисел больше нет.

2. как без остатка разрезать квадрат на 11 прямоугольноков, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? Пример нарисуйте по клеточкам.

3. Ане и Ване вместе 36 лет. Сколько лет Ане, если 10 лет назад она была в 7 раз младше Вани?

4. В семи маленьких банках меньше краски, чем в четырёх больших. петя купил 6 больших банок краски, а Вася - 10 маленьких. Кто из них купил больше краски? Ответ поясните.

5. В 2001 году на багдадском базаре ковёр-самолёт стоил 1 динар. Затем в течение 99 лет он каждый год, кроме одного, дорожал на 1 динар, а в один год подорожал в 3 раза. Мог ли в 1100 году такой же ковёр-самолёт стоить 152 динара? Ответ поясните.


2011 год

1. Имеется 10 карточек, на каждой из которой написано число 2, и сколько сколько угодно карточек со знаками сложения, вычитания, умножения, деления, открывающей и закрывающей скобок. как с их помощью составить выражение, значение которого равно 2011?

2. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врёт. Как-то его три ноябрьских дня подряд спрашивали: "как тебя зовут?". На первый день он ответил: "Андрей", на второй "Борис", на третий: "Виктор". Как зовут мальчика? Как вы рассуждали?

3. От шоссе к четырём посёлкам А, В, С, D последовательно отходят четыре дороги. Известно, что путь по дороге-шоссе-дороге от А до В равен 9 км, отА до С - 13 км, от В до С - 8 км, от В до D - 14 км. Найдите длину пути (по дороге -шоссе-дороге) от А до D. Ответ обоснуйте. 

4. Есть 40 палочек. Длина первой палочки - 1 см, второй - 2 см, ..., сороковой - 40 см ( длина каждой следующей палочки на 1 см больше длины предыдущей). Как, использовав все эти палочки, составить пять различных квадратов? Ломать палочки нельзя и каждая палочка должна входить только в один квадрат.

5. Каждое целое число от 1 до 12 написали на двух карточках. можно ли разложить все 24 получившиеся карточки в две стопки так, чтобы произведение всех чисел из одной стопки было в 3 раза больше произведения всех чисел из второй стопки? Если да, то как? Если нет, то почему?


2010 год

1. Найдите все четырёхзначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех четырёх цифр павно 10.

2. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

3. Ванна объёмом 100 литров снабжена краном и сливом, находящимся прямо под краном. Из открытого крана в ванну каждую минуту выливается 2 л воды. Открытый слив пропускает 3 л воды в миуту. Сначала кран и слив были закрыты, а ванна пуста. В 12.00 открыли кран. В 12.30 открыли слив. В 14.00 закрыли слив. В какой момент ванна наполнилась целиком?

4. Как разрезать клечатый квадрат разиером 6Х6 клеточек на четыре одинаковые фигуры периметра 20 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.

5. Двое играют в такую игру. В белом клечатом квадрате со стороной в 5 клеток они по очереди закрашивают чёрным клечатые квадраты, в тороых все клетки - белые (в частности, можно закрашивать одну белую клетку). Проигрывает тот, после хода которого не осталось белых клеток. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник, и как ему для этого надо играть?

* Все задачи взяты из сборника "Математика, задачи, решения, методические рекомендации", г.Киров